Trigonometría esférica

La representación esférica del Universo surge de forma natural sin más que mirar de noche al cielo estrellado que nos circunda. Fácilmente observamos que la parte de cielo que vemos se asemeja a un hemisferio de una esfera cuyo centro está situado en el lugar del observador. Así los cuerpos celestes observados podrían considerarse situados en una superficie esférica. Igual sucede cuando consideramos la superficie de la Tierra como una esfera. Planteamiento que se utiliza sobre todo en Navegación y en proyecciones topográficas e hidrográficas Es por esto que cualquier estudio acerca de los astros del Universo necesitará del conocimiento de conceptos relativos a la geometría de la esfera. La Trigonometría Esférica, es una herramienta fundamental en el estudio de la Astronomía de Posición.

La Trigonometría Esférica resuelve y trata las propiedades y relaciones de los elementos de triángulos formados en la superficie de una esfera mediante arcos de círculos máximos,
El concepto de triángulo esférico se introduce a partir de la definición del triedro, en tanto que geométricamente se obtendrá como la intersección de un triedro con la superficie de una esfera cuyo centro coincide con el vértice del triedro.
Sin entrar en la teoría de resolución del triedro, partamos de que las propiedades de los triángulos esféricos se deducen de que a cada propiedad relativa a los triedros le corresponde una propiedad análoga de los triángulos esféricos.
Entre los elementos de todo triángulo esférico se verifican las siguientes propiedades:
• Los lados de un triángulo esférico son menores que una semicircunferencia.
• La suma de los lados de un triángulo esférico es menor que cuatro rectos.
• Cualquier lado de un triángulo esférico es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
• La suma de los ángulos de un triángulo esférico es mayor que dos rectos y menor que seis.
• El menor de los ángulos de un triángulo esférico difiere de la suma de los otros dos en menos de dos rectos.
• Un triángulo esférico isósceles tiene iguales los ángulos opuestos a los lados iguales y, consecuentemente, si un triángulo esférico tiene dos ángulos iguales, también es isósceles.
• En todo triángulo esférico, a mayor lado se opone mayor ángulo y, recíprocamente, a mayor ángulo se opone mayor lado.
Comparación entre la geometría esférica y la geometría del plano (Geometría Euclídea)
Aunque existe una cierta analogía entre algunos conceptos y propiedades de la geometría esférica y de la plana, no ocurre así con otras propiedades y que son conceptos diferenciadores.
Por ejemplo:
Dos rectas en el plano se cortan en un único punto, mientras que dos circunferencias máximas se cortan en dos puntos.
Dos perpendiculares a una recta, en el plano, son paralelas; en la esfera dos circunferencias máximas perpendiculares a otra se cortan en los polos de ésta, desapareciendo el paralelismo entre ambas circunferencias máximas.
Como consecuencia del axioma del paralelismo, en el plano, la suma de los ángulos de un triángulo vale dos rectos, en la esfera es mayor que dos rectos.
El lugar geométrico de los puntos de un semiplano equidistantes de una recta es otra recta paralela a la dada.
En la esfera, el lugar geométrico que equidista de una circunferencia máxima es una circunferencia menor.
Relaciones entre los elementos de un triángulo esférico
Primera, segunda y tercera Fórmulas de Bessel
En todo triángulo esférico, ABC se demuestran las siguientes relaciones:
(Teorema del coseno: 1a Fórmula de Bessel)
El coseno de un lado es igual al producto de los cosenos de los otros dos, más el producto de sus senos multiplicado por el coseno del ángulo comprendido,
cos l1 = cos l2 cos l3 + sen l2 sen l3 cosA1:
(Teorema del seno: 2a Fórmula de Bessel)
Los senos de los lados son proporcionales a lo senos de los ángulos opuestos,
(3a Fórmula de Bessel)
El seno de un lado por el coseno de un ángulo adyacente es igual al producto del coseno del lado opuesto al ángulo por el seno del otro lado menos el producto del seno de dicho lado opuesto por el coseno del otro lado por el coseno del ángulo opuesto al lado inicial,
sen l1 cosA2 = cos l2 sen l3 - sen l2 cos l3 cosA1